Что такое класс хранения?

Класс, который определяет срок существования, компоновку и расположение переменных/функций в памяти.

В C++ поддерживаются такие классы хранения: auto, static, register, extern и mutable.

Обратите внимание, что register устарел для C++11. Для C++17 он был удален и зарезервирован для будущего использования.