Итак.

Сплайн - это составная гладкая кривая, которая как правило задается параметрически.

Пришло это из черчения гладких кривых, когда деревянную планку изгибали, фиксируя в нужных точках, и она под действием напряжения материала изгибалась определенным образом. Очевидно, что разные материалы будут давать разную кривизну ввиду разницы свойств.

Для черчения используются лекала (они же French curve ruler), которых множество, они стандартизированы и можно найти нужную кривую на нужный случай. Очевидно, там не будет крайних и вырожденных случаев.

Математически тоже есть куча описаний, которые различаются порядком, прохождением кривых через точки (или нет), размерностью (линия, плоскость и тд).

Далее буду рассказывать про некоторые конкретные кривые с примерами в desmos по возможности.