Сегодня поговорим о неваляшках.

1/2

Неваляшка – это некая фиговина, имеющая два положения равновесия: одно устойчивого, второе неустойчивого.

Ставишь его головой вверх – и как ни толкай, он возвращается в исходное положение. Ставишь на голову (ооочень-очень осторожно) – и он стоять-то стоит, но при малейшем движении готов упасть, а точнее – встать как положено, головой вверх.

Достигается этот эффект за счет шарообразных головы и, кхм, нижней части, и (главное) смещенного центра тяжести. В самом низу неваляшки находится свинцовый балласт, изо всех сил тянущий низ, что логично, вниз.

Я уверена, после прочтения этих строк у вас немедленно возник вопрос: можно ли избавиться от груза и сделать однородного неваляшку?

Первым делом интуиция подсказывает, что для уменьшения количества точек равновесия хорошо бы сделать его еще и выпуклым.

И в этом случае мы получаем что-то, похожее на яйцо, у которого есть две точки неустойчивого (на остром и тупом концах) и бесконечное количество точек безразличного равновесия (при вращении вокруг продольной оси, когда оно лежит на любом боку). Это не то, что нам нужно.

Судьбоносное для мира однородных неваляшек событие случилось в 1995 году на Интернациональном конгрессе индустриальной и прикладной математики в Гамбурге, где встретились два математика - Владимир Арнольд из России и Габор Домокош из Венгрии.

Домокош и коллеги, Энди Руина и Джим Пападопулос, изучали положения равновесия плоских тел. Проведенные с моделями из проволоки и фанеры эксперименты и сопутствующие им расчеты показали, что, например, у квадрата как двухмерной фигуры есть 4 устойчивых положения равновесия (на каждой из сторон) и 4 неустойчивых. У эллипса – 2 устойчивых (когда длинная ось горизонтальна) и 2 неустойчивых (когда она вертикальна). А результатом исследований стала статья, доказывающая, что не существует двумерных объектов, имеющих только одно положение устойчивого и одно – неустойчивого равновесия. Как известно, 2+2=4, итого – у любого плоского тела есть хотя бы 4 положения равновесия.

Владимир Арнольд же на конференции рассказывал разных задачах по дифференциальной геометрии, оптике и механике, в решении которых используется теорема Якоби, связанная с понятием устойчивости системы.

Удивительным образом каждая из задач имела отношение к числу 4. Это навело Домокоша на мысль о том, что это стоит обсудить подробнее. Разговор с Арнольдом коснулся и трехмерной версии задачи определения количества положений равновесия тел, в частности – срезанного цилиндра, имеющего всего одно положение устойчивого равновесия, и при этом 3 – неустойчивого. Арнольд предположил, что, раз существуют трехмерные тела с количеством положений устойчивого равновесия меньше 2, то могут существовать и с аналогичным количеством положений неустойчивого. И предложил Домокошу найти такую форму.

Поиск занял десять лет.

Началось всё с поиска нужной формы в природе. Проводя отпуск на Родосе, Домокош с женой исследовали форму камней на пляже. В течение недели они собрали и изучили более двух тысяч камней, для каждого записывая в таблицу число положений устойчивого и неустойчивого равновесия. (Вот это прямо эталон безудержного математического веселья в отпуске, дайте два!).

Подходящая форма не была обнаружена.

Тем не менее, определенный результат был. Выяснилось, что естественная абразия уменьшает количество положений равновесия у камня. Но, достигнув двух положений устойчивого, и двух неустойчивого при форме близкой к эллипсоиду, этот процесс прекращается.

Дальнейшие эксперименты Домокоша и его коллеги Петера Варконьи с формой исходили из интуитивного предположения: необходимо взять шар и изменять его форму наподобие яйца, при этом отслеживая выпуклость и положение центра масс.

Важность выпуклости тела иллюстрируется легендой о Колумбовом яйце: на званом ужине Колумбу сказали, что открыть Америку мог любой. В ответ он предложил поставить яйцо вертикально на стол. После многих безуспешных попыток гостей сделать это, Колумб примял яйцо с одной стороны и без труда поставил его на переставший быть выпуклым конец.