Если вам кажется, что мы уже упоролись *вам не кажется* и ушли в какие-то виртуальные математические дебри, то вот вам несколько примеров из жизни. Установлено, что фрактальная размерность берега Байкала примерно равна 1,33, а побережья Великобритании составляет 1,25, что очень близко к значению снежинки Коха. Грубо говоря, британский берег в любом масштабе в 1,25 раз извилистей, чем обычная линия. Другим удивительным примером является поверхность человеческого легкого: несмотря на то что объем воздуха в легких — это стандартный показатель и его просто измерить, то вот площадь их поверхности порой достигает ста квадратных метров (!). Эволюция постепенно усложняла структуру легких, чтобы увеличить скорость газообмена, и наусложняла так, что их поверхность тоже имеет дробную размерность, равную около 2,97. То есть она настолько «мятая», что начинает заполнять трехмерное пространство, да еще так сильно, что является больше трехмерным объектом, чем плоскостью!

Надеюсь, вы еще не устали, потому что в повестке было сказано про какой-то там хаос, а мы все еще к нему ползем.

Ладно, от руки мы фрактал, конечно, не нарисуем, но вот с помощью программы запросто, нужно только знать, какую функцию и как использовать. Вот вам пример такой функции: z^2 + c, где z – комплексная переменная. Для тех, кто пенёк, комплексная переменная – это тот же самый привычный нам со школьных времен икс или игрек, но состоящий из двух частей: реальной и мнимой. Ничего особо страшного, просто еще один вид чисел, как натуральные, целые и так далее. Если применить такую функцию много-много раз *знакомы с итерациями?* и построить ее график, то вы получите изображение фрактала Мандельброта (см. картинку) – наверное, самого знаменитого из всех фракталов *хотя хитрый Мандельброт по слухам стырил эту формулу у своего конкурента*.

Главная особенность фрактала (или же множества) Мандельброта в том, что он во много раз сложнее любого другого и содержит в себе бесконечное число совершенно непохожих друг на друга фракталов. Его граница так невероятно сложна, что имеет размерность равную двум! Вот так, последовательно совершая простые действия, типа возведения в квадрат и прибавления к константе, мы получили один из самых сложных объектов в математике.

Но дело в том, что повторяющиеся функции (их еще зовут итерированными) связаны не только с построением красивых изображений фрактальных фигур, сам принцип «от простого к бесконечно сложному» является основой так называемой теории хаоса. Когда функция порождает самоповторяющийся (или почти повторяющийся) объект – мы называем его фракталом, а когда с каждый циклом мы наоборот получаем совершенно разные «узоры» – мы называем это хаотическим процессом.

Хаос, помимо отсутствия идентичных друг другу «узоров», характеризуется особой чувствительностью к изменению начальных условий. Вы никогда не думали, почему нет прогноза погоды на полгода или на год? Ну, чтобы заранее посмотреть, когда лучше лететь в отпуск. Если синоптики постоянно получают огромное количество данных о текущем состоянии погоды, почему нельзя просто рассчитать прогноз, взяв их за основу? К сожалению, это невозможно, и виной тому – хаос.

Эдвард Лоренц заметил это еще в далеких 1950-х. Работая с математическими моделями для предсказания погоды, он в какой-то момент отвлекся от построения графика данных. Но вместо того, чтобы удалить график и начать все заново, он решил продолжить моделирование с того места, где остановился и сам ввел промежуточные данные в качестве начальных условий. Сначала полученная кривая соответствовала предыдущей, но с каждым новым расчетом все сильнее отклонялась от нее.