🦋 – Дробное измерение (или как передоз порядка ведет к хаосу)

Как говорится, слово – не воробей, и вот подоспело обещанное продолжение к предыдущей заметке про фракталы. Если кто-то её не видел, милости просим сюда. Правда, стоит предупредить заранее: этот текст вышел посложнее, так что если вы просто заглянули почитать в перерыве что-то легкое и занимательное под кофеёк, то идите своей дорогой, потому что сегодня мы затронем математику беспорядочного. Но обо всем по порядку *и никакой тавтологии*.

Какова размерность куба? На интуитивном уровне мы понимаем, что она равна трем, ведь в кубе есть три направления для движения: вперед-назад, вправо-влево, вверх-вниз. Такая пространственная размерность (да, не поверите, они еще и разные бывают) приближенно равна топологической. Не забивайте себе голову, просто дальше мы будем использовать именно это слово, чтобы какой-нибудь господин математик не забросал нас тапками. Для разминки, попробуйте определить топологическую размерность шара, сферы и линии. Да, это проще простого: у шара = 3 (как и у куба), у сферы = 2 (так как по сфере мы можем перемещаться только в двух направлениях), ну и у линии = 1, ведь по линии мы можем идти только вперед и назад.

Легко представить двух- или трехмерный объект, а если у вас достаточно развита фантазия, то вы и четырехмерный куб навоображать сумеете. Он, кстати, называется тессеракт *где-то в мультивселенной поперхнулcя Локи*. Но как насчет объектов, размерность которых является дробью? Слабо представить что-нибудь, скажем, 1,25-мерное?

Да ладно, не ломайте себе психику: дробной топологической размерности не бывает, ее свойство как раз в том, что она выражается только целыми числами. Так что не пытайтесь вообразить, как выглядит три четверти направления в пространстве.

Зато фрактальная размерность – всегда дробная! Знаю, звучит бредово, но, говоря о фракталах не стоит представлять направления движения по ним, потому что фрактальная размерность скорее показывает, насколько плотно кривая заполняет плоскость или насколько хорошо плоскость заполняет пространство. Слишком мудрено? Вот вам небольшая визуализация: если мы возьмем лист бумаги, сомнем очень много раз и положим под пресс, мы все равно не сможем сохранить его таким же плоским, как в выпрямленном состоянии. Таким образом, являясь сам по себе двумерным объектом, лист бумаги вышел за его рамки и заполнил трехмерное пространство. То же самое можно придумать с кривой линией: зная, что кривая фрактала бесконечно сложная – она будет заполнять двухмерную плоскость, хотя сама по себе одномерна.

Кроме того, размерность фрактала как бы показывает нам, насколько извилистей он своего «правильного» целого брата. Например, размерность кривой Коха равна примерно 1,26 – из чего мы можем сделать вывод, что она настолько сложнее обычной кривой линии (у которой размерность 1), что находится в подвешенном состоянии между статусом одномерного и двумерного объекта. Снежинка Коха слишком сложна, чтобы быть одномерной, и слишком проста, чтобы зваться двумерной. А вот прямая линия никак не заполняет плоскость, причем не потому что она бесконечно тонкая, а потому что слишком простая по форме.

Смогли бы вы нарисовать фрактал? Вряд ли. Вы можете изобразить запутанную, извилистую линию, которая с первого взгляда будет казаться очень сложной. Но постепенно увеличивая масштаб все бугорки и впадины выпрямятся, и в большом разрешении ваша кривая станет обычной прямой со стандартной размерностью равной одному. И вот, наконец, мы подошли к более научному определению фрактала.

Фрактал (от латинского fractus – ломаный, дробленый) – это множество точек, имеющее дробную размерность. Другими словами, как бы мы не изменяли масштаб, кривая фрактала всегда будет сложнее обычной линии.