Tepadagi postdan keyin "lekin sanashni 1 dan boshlaymiz-ku" degan savol chiqishi aniq edi va aynan qiziq joyi ham shunda. O'zi sanash nima?

To'plamlar nazariyasiga ko'ra sanash bu to'plamdagi jami elementlar sonini bildiradigan sonni (ya'ni to'plamning kardinalligini) topish. Gap shundaki, ta'rifga ko'ra o'sha sonni topish muhim, lekin uni qanday topish aniqlashtirilmagan (aniqrog'i, bu muhim emas). To'plamlar nazariyasining eng asosiy aksiomalaridan biriga ko'ra bo'sh to'plamdagi elementlar soni 0 ga teng. Demak, 0 ham sanoqda ishlatiladi va u bo'sh to'plamdagi elementlar sonini bildiradi.

Aslida shu joyda to'xtasak ham bo'lardi, lekin boyagi savol haliyam ochiq qolayapti: nega unda 1 dan boshlab sanaymiz?
Javob tepada aytilgan abstrakt tushuncha - to'plamdagi elementlar sonini konkret ketma-ketlik bilan, ya'ni algoritmik usulda qanday topishimizga borib taqaladi. Eng mashhur va "standart" usul bu incremental yoki recursive approach (biz biladigan 1 dan boshlab sanash). Bu usul uchun ishlatiladigan qoidalar:
– Bo'sh to'plamdagi elementlar soni 0 ga teng.
– Bo'sh bo'lmagan to'plamlar ichida kardinalligi eng kichik to'plamning kardinalligi 1 ga teng ("kardinalligi kichik" nimani bildirishining ham ta'rifi bor).
– Umumiy elementga ega bo'lmagan to'plamlar birlashmasining kardinalligi ularning alohida holatdagi kardinalliklari yig'indisiga teng, ya'ni A ∩ B = ∅ bo'lgan A, B to'plamlar uchun |A ∩ B| = |A| + |B|. Bu qoida ham boshqa bir qoidaning xususiy ko'rinishi.

A to'plamning kardinalligini topish uchun:
– B bo'sh to'plam olamiz.
– A to'plam bo'sh bo'lmagunicha undan kardinalligi 1 ga teng qism to'plamni "ayirib", B to'plamga "qo'shamiz" va B to'plamning kardinalligini qayta hisoblaymiz. Ya'ni A to'plamdan 1 ta element olib B ga qo'shamiz. Bu holatda A to'plamning kardinalligi 1 ga kamayib, B niki 1 ga oshadi.
– Oxirgi operatsiyadan keyin B to'plamning kardinalligi eng boshidagi A to'plamning kardinalligiga teng, sababi tepadagi 3-qoidaga ko'ra har bir qadamda ikkala to'plam birlashmasining kardinalligi o'zgarmayapti.

Savatdagi olmalarni sanash analogimiz bo'yicha boshida hamma olmani "sanalmagan" deb olamiz va sanalmagan olmalar tugaginicha ularni bitta-bittadan"sanalgan"larga o'tkazib chiqamiz. Oxiridagi sanalgan olmalar soni boshidagi sanalmagan olmalar soniga (ya'ni savatdagi jami olmalar soniga) teng bo'ladi.

Lekin ko'pchilik sanashning boshlanish nuqtasi deb sanalganlar 0 ta deb olingan vaqtni emas, 1-olma sanalmaganlardan sanalganlarga o'tkazilgan vaqtni qabul qiladi. Aslida esa "uje" 1 ta qadam o'tib bo'lgan bo'ladi. Xuddi shu sabab sanash 1 dan boshlanadi degan fikr shakllanib qolgan.

P.S. Lambda calculusda sonlar xuddi tepada aytilgan usulda tasvirlanadi. Faqat olmani 1 ta savatdan boshqasiga o'tkazish emas, abstrakt successor funksiyasi bilan.