Bir boshidan analiz qilaylik.

Polygon tomonlardan tashkil topgan. Tomonlar esa kesmalar, ya'ni to'g'ri chiziqning bir bo'lagidan iborat. To'g'ri chiziq esa cheksiz nuqtalar to'plami.
Aylana ham cheksiz nuqtalar to'plami.
Demak, aylanadagi barcha ketma-ket ikki nuqtani kesma (ya'ni to'g'ri chiziqning bir qismi) sifatida qarasak, aylanani ham kesmalardan iborat yopiq shakl – ko'pburchak deb qarash mumkin.

Lekin matematik jihatdan aylana ko'pburchak deb qaralmaydi. Unda biz qayerda xato qildik? Aynan nima bu sofizmni keltirib chiqarayapti?

Javob: Cheksizlik (infinity).

Tepadagi sofizmda biz cheksizlikka son sifatida qaradik. Bu esa noto'g'ri. Cheksizlik son emas, chegarasi yo'q bo'lgan kattalikni matematik jihatdan ifodalash uchun kiritilgan tushuncha. To'plamlar jihatidan olib qaralganda cheksizlik bu oxiri yo'q to'plamdagi elementlar soni, lekin elementlardan biri emas. Masalan, natural sonlar to'plamidagi har bir element chekli, lekin bu to'plamning kattaligi cheksiz.
Sonlar ustida bajariladigan amallar cheksizlik bilan ishlamaydi.

Biz aynan xato qilgan joy esa aylanadagi ikkita ketma-ket nuqtani kesma sifatida qarash edi. Aslida aylanada ham, chiziqda ham ikkita ketma-ket nuqtaning o'zi yo'q. Istalgan ikki nuqta orasida cheksiz sondagi nuqtalar bor.

Biz aylanani ko'pburchak deb hisoblashimiz uchun undagi har bir nuqta ko'pburchakdagi qaysidir kesmaga tegishli bo'lishi kerak. Buning uchun esa eng kamida ketma-ket ikki nuqtani kesma sifatida qaray olishimiz kerak (kesma boshi va oxiri). Lekin tepada aytganimiz bo'yicha ketma-ket nuqtalarning orasida ham cheksiz sondagi boshqa nuqtalar bor. Biz esa ularni kesmaning bir qismi sifatida qaray olmaymiz. Sababi, aylanadagi hech qaysi 3 ta nuqta 1 to'g'ri chiziqda yota olmaydi.

Qo'ldan kelganicha tushuntirishga harakat qildim. Cheksizlik fandagi eng sirli va tushunarsiz tushunchalardan biri.

@boboshersnotes