⚛⚛⚛


بسط فوریه به زبان ساده:

🖍ما لفظ
"بسط" فوریه:
رو برای توابع پریودیک یا دوره ای به کار می‌بریم.

🖍لفظ "تبدیل" فوریه:
رو برای توابع غیر پریودیک یا غیر دوره ای به کار می بریم.
که البته اساسأ فرقی ندارند.

🖍در واقع وقتی میگیم سری فوریه( برای توابع متناوب یا پریودیک یا دوره ای): فرمول تبدیل فوریه ما، جمعی ( جمع جبری منظورمه یا +)است
همون که توی فرمولش سیگما داشتیم دیگه.
که طبیعتاً آسون تره.

🖍و
وقتی که میگیم تبدیل فوریه:(برای توابع غیر متناوب یا غیر پریودیک)
فرمول تبدیل فوریه ،انتگرالی هست.
که بسطش سخت تره باید چند تا کلک بزنیم.

🟡یعنی
وقتی تلاش می‌کنیم  توابع غیر پریودیک رو
بسط فوریه بدیم
انگار داریم براش یک تکرار در نظر میگیریم.
❓چطوری؟
✅یک تابع غیر پریودیک، یک تابع پریودیکی هست که دوره تناوبش بینهایته!
یعنی فاصله بین فرکانس ها صفر میشه
یعنی بینهایت فرکانس لازم دارید.
یا بهتره بگیم فرکانس های فوریه بسیار کوچک میشه
بنابراین در فرمول با انتگرال سروکار داریم.

این ترفند ریاضی رو می‌زنیم تا بتونیم یک چیز غیر دوره ای رو بر اساس سینوس ها و کسینوس ها بسط بدیم.

چون برای توابع غیر پریودیک نمیشه به راحتی بسط فوریه نوشت
یه مقدار کار ریاضی باید انجام داد و گولش زد!

✅تبدیل فوریه ما رو می‌بره به یک فضای دیگر
مثلاً از فضای مکان میبرمون به فضای تکانه.

🖍در تبدیل فوریه سهم هر فرکانس
an و bn
ها هست.

🟡در توابع غیر پریودیک نمی‌تونیم بگیم سهم یک فرکانس مشخص چیه
فقط میتونیم بگیم سهم یک "بازه" فرکانس مشخص چیه!
انگار دارید سهم رو به چگالی سهم تبدیل میکنید.
❓این شما رو یاد عدم قطعیت نمیندازه!؟

🖍تا اینجا همش ریاضی هستا!
مثلا ما از عدم قطعیت هیچ خبری نداریم
و فیزیکی در کار نیست.

🖍بین پهنای تابع
و پهنای تبدیل فوریه تابع
یک رابطه ای وجود داره.

🖍اگر تابع پهن باشه
تبدیل فوریه ش تیز میشه.

اگر تابع تیز باشه
تبدیل فوریه ش پهن میشه.

یعنی پهنای تبدیل فوریه تابع با پهنای خود تابع رابطه عکس داره.

✅پس تبدیل فوریه
قله رو پهن می‌کنه یا کشیده می‌کنه
و کشیدگی یا افتادگی یا خط صاف رو
تیز یا قله می‌کنه
شکل تابع منظور هست

پس تبدیل فوریه
پهنی تابع  رو تیز می‌کنه.
تیزی تابع  رو پهن می‌کنه.

❓حالا چه طوری به عدم قطعیت ربط داره؟
✅اگر معیار پهنای تابع رو با دلتا X (و X به عنوان متغیر مکان تلقی بشه)
و
معیار پهنای تبدیل فوریه تابع رو با دلتا K (و K به عنوان متغیر تکانه تلقی بشه)
مشخص کنیم.
وقتی یکی پهن تره یعنی نادقیق تر
اون یکی تیز تر یا جمع تره یعنی دقیق تر.

🖍یعنی اگر مکان رو دقیق تر بدست بیاریم (تیز تر)
تکانه که تبدیل فوریه ش هست  نادقیق تر بدست میاد.(پهن تر)

🖍اون دلتا،
در دلتا X یا دلتا K مرتبه یا تخمینی  هست از اینکه تابع شما چقدر پهن شده.
هر چی پهنا کمتر باشه دقت بیشتره
یا شکل تابع تیز تره.

✅تا برسیم به تابع دلتای دیراک که دیگه خودتون میدونید چقدر دقیق و تیز هست
حالا تبدیل فوریه این تابع خیلی جالبه.
در موردش فکر کنید.


🆔 @atomicphysicsss
⚛ کانال تخصصی فیزیک اتمی