Заметим, что если X имеет непрерывное распределение, то вероятность того, что X окажется левее своего p-квантиля, равна p. Звучит безобидно, но зацените, что отсюда можно получить!
1️⃣ Если у нас есть выборка из 5 элементов, то интервал (минимум выборки, максимум выборки) является точным центральным 93,75% интервалом для медианы.
2️⃣ Если у нас есть выборка из n элементов, то количество элементов слева от p-квантиля имеет распределение
Bin(n, p). Подобрав такие целые L и R, что интервал [L, R-1] накрывает ~95% распределения Bin(n, p), мы можем построить точный интервал для p-квантиля с помощью L-го и R-го элементов выборки по возрастанию.Оказывается, эти интервалы не только точные, но еще и не особо хуже интервалов на основе асимптотической нормальности выборочного квантиля.