تابع مولد گشتاور، MGF دقیقا چیست؟

در نظریه احتمال به میانگین یک توزیع احتمالی امید ریاضی یا Expected value اون توزیع گفته می‌شه، که با علامت [X]E نشون داده می‌شه.
گاهی وقتا به عنوان مثال نیاز داریم برای محاسبه واریانس توزیع امید X² رو محاسبه کنیم که به طور مستقیم کار نسبتا سختی هست.
خب، برای راحت تر کردن محاسبه امید X^n یک مفهومی بیان شد به اسم مولد گشتاور که گشتاور های X که
E[X],E[X²],...,E[X^n]
هست رو محاسبه می‌کنه.
مولد گشتاوی به شکل زیر تعریف می‌شه:
MX(t) =E[e^(tX)]
یا به صورت انتگرال
e^(tx)fX(x)
(برای توزیع های  گسسته زیگما همین تعریف) روی تمام x های قابل تعریف.

اگر MGF در یک بازه حول صفر متناهی باشد، می‌توان مشتق را زیر علامت امید ریاضی برد:
MX'(t)=E[Xe^(tX)]
پس:
MX'(0)=E[X]
و به همین ترتیب:
MX''(0)=E[X^2]MX^(n)(0)=E[X^n]
حالا برای توزیع هایی که مولد گشتاور دارن این تابع رو محاسبه می‌کنیم و با مشتقات مختلف اون در مرتبه های مختلف در نقطه 0 گشتاور های مختلف توزیع رو محاسبه می‌کنیم

┏━━━━━
🌐 @Amar_kadeh 📊
┗━━━━━━━━━━